Question

giải hpt:
x √x + y √y = 2 √xy
√x + √y = 2

Answer 1

Đặt \(\sqrt{x}=a;\sqrt{y}=b\left(a,b>0\right)\) thì có:

\(\hept{\begin{cases}a^3+b^3=2ab\\a+b=2\end{cases}}\). Khi đó xét pt(1)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=2\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2-2\right)=0\)

*)Xét \(a+b=0\Rightarrow a=-b\Rightarrow a=b=0\) (loại)

*)Xét \(a^2-ab+b^2-2=0\Rightarrow a^2+b^2-ab=2\)

Do \(a,b\ge0\) nên xài AM-GM ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2-ab\ge ab=2\)

Và \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=2\) Xảy ra khi \(a=b=1\) (thỏa)

Vậy nghiệm hpt là \(a=b=1\)

Answer 2

Đặt √x=a;√y=b,ta có;a^3+b^3=2ab;a+b=2>>>(a+b)(a^2-ab+b^2)=2(a^2-ab+b^2)=2ab

a^2-ab+b^2=ab >>>(a-b)^2=0 >>>a=b>>>x=y=1