Question

Giải hpt :

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+xy=1\\x^3+y^3=x+3y\end{cases}}\)

Answer 1

Do \(x^2+y^2+xy=1\Rightarrow x-y=\left(x-y\right)\left(x^2+y^2+xy\right)=x^3-y^3\)

Tức là ta có hệ mới \(\hept{\begin{cases}x^3-y^3=x-y\\x^3+y^3=x+3y\end{cases}}\)

Trừ từng vế của phương trình dưới cho phương trình trên, ta có \(2y^3=4y\Rightarrow2y\left(y^2-2\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\y=\sqrt{2}\vee y=-\sqrt{2}\end{cases}}\)

Nếu y = 0 thì \(x^2=1\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)

Nếu \(y=\sqrt{2}\) thì \(x^2+2+\sqrt{2}x=1\Rightarrow x^2+\sqrt{2}x+1=0\) (Vô nghiệm)

Nếu \(y=-\sqrt{2}\) thì \(x^2+2-\sqrt{2}x=1\Rightarrow x^2-\sqrt{2}x+1=0\) (Vô nghiệm)

Tóm lại phương trình có 2 nghiệm \(\left(1;0\right)\) và \(\left(-1;0\right).\)