Question

Giải hệ phương trình tìm nguyên dương

x³ - y³ - z³= 3xyz
x_²= 2.(y+z)

Answer 1

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\) với \(a=x,b=-y,c=-z\) ta được \(x^3-y^3-z^3-3xyz=\left(x-y-z\right)\left(x^2+y^2+z^2+xy-yz+zx\right)\) Thành thử \(x=y+z\)  hoặc \(x^2+y^2+z^2+xy-yz+zx=0.\) Vì \(x,y,z\)  là các số nguyên dương nên \(x^2+y^2+z^2+xy-yz+zx>x^2+z^2-xz\ge xz>0.\) Suy ra \(x=y+z\). Vì \(x^2=2\left(y+z\right)\to x^2=2x\to x=2\to y+z=2\to y=z=1.\)  (Vì các số \(x,y,z\) nguyên dương).

Vậy \(\left(x,y,z\right)=\left(2,1,1\right).\)