\(\hept{\begin{cases}x^2+8=xy^2+2x\left(1\right)\\y^2+8=x^2y+2y\left(2\right)\end{cases}}\)
Xét: \(x^2+8=xy^2+2x\)
<=> \(x\left(y^2+2\right)=x^2+8\ge8>0\)mà \(y^2+2>0\) với mọi x; y
=> \(x>0\)tương tự \(y>0\)(3)
Xét \(x^2+8=xy^2+2x\)
<=> \(y^2+2=x+\frac{8}{x}\ge2\sqrt{8}\)<=> \(y^2\ge2\sqrt{8}-2\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}y\ge\sqrt{2\sqrt{8}-2}\\y\le-\sqrt{2\sqrt{8}-2}\end{cases}}\)tương tự \(\orbr{\begin{cases}x\ge\sqrt{2\sqrt{8}-2}\\x\le-\sqrt{2\sqrt{8}-2}\end{cases}}\)(4)
Từ (3) và (4) => \(x;y\ge\sqrt{2\sqrt{8}-2}\)(@@)
Lấy (1) - ( 2) ta có: \(x^2-y^2=xy^2-x^2y+2x-2y\)
<=> \(\left(x-y\right)\left(x+y\right)+xy\left(x-y\right)-2\left(x-y\right)=0\)
<=> \(\left(x-y\right)\left(x+y+xy-2\right)=0\)(5)
Với \(x;y\ge\sqrt{2\sqrt{8}-2}\) ta có: \(x+y+xy-2>0\)
Do đó: (5) <=> x = y
Thế vào (1) ta có: \(x^3-x^2+2x-8=0\Leftrightarrow x=2\)thỏa mãn (@@)
Vậy:...