bài này đơn giản mà nghĩ sâu sa quá :(
Pt (2) của hệ ta có: \(\sqrt{y\left(x-1\right)}+\sqrt{x^2-y}=x\sqrt{x}\)
\(\sqrt{xy-y}-\sqrt{x^2-y}=\frac{xy-y-\left(x^2-y\right)}{\sqrt{y\left(x-1\right)}+\sqrt{x^2-y}}\)\(=\frac{x\left(y-x\right)}{x\sqrt{x}}=\frac{y-x}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{xy-y}=\frac{y-x}{\sqrt{x}}+x\sqrt{x}=\frac{x^2-x+y}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{y\left(x^2-x\right)}=x^2-x+y\)
\(\Rightarrow4y\left(x^2-x\right)=\left(x^2-x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x^2+x\right)^2=0\Leftrightarrow y=x^2-x\). Thay vào pt (1) của hệ ta dc:
\(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}=x^2-x+2\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{x^2+x-1}\le\frac{x^2+x-1+1}{2}=\frac{x^2+x}{2}\)
\(\sqrt{-x^2+x+1}\le\frac{-x^2+x+1+1}{2}=\frac{-x^2+x+2}{2}\)
Cộng theo vế ta có: \(x^2-x+2\le\frac{x^2+x}{2}+\frac{-x^2+x+2}{2}=x+1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\le0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\) (thỏa mãn)
Vậy....
Đã thử thế đáp số \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)vào hệ ban đầu để kiểm tra chưa thế b
ấy chết hôm qua xoắn quá
x=1 và y=0 ms đúng
đính chính lại cách làm trên đúng hết có dòng cuối nhầm
<=>(x-1)^2=<0 <=>x=1 =>y=0