Điều kiện \(x\ge0;y\ge0\)
Dễ thấy nếu x = 0; y = 0 và ngược lại nên hệ có nghiệm (x;y) = (0;0)
Ta xét x > 0 và y > 0. Xét hàm số :
\(f\left(t\right)=\frac{t^2+\sqrt{t}}{2};t>0\)
Ta thấy \(f'\left(t\right)=t+\frac{1}{4\sqrt{t}}>0\) với mọi \(t>0\) nên đây là hàm đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)
Hệ đã cho được viết lại thành : \(\begin{cases}x=f\left(y\right)\\y=f\left(x\right)\end{cases}\)
Nếu x > y thì \(f\left(x\right)>f\left(y\right)\) suy ra y>x vô lý.
Tương tự, nếu x < y thì cũng vô lí. Vậy x = y, thay vào (*) được
\(x^2+\sqrt{x}=2x\Leftrightarrow x\sqrt{x}+1=2\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là :
\(\left(0;0\right);\left(1;1\right);\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\)