\(\begin{cases}2^x-2=3y-3^x\\2^y-2=3x-3^y\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2^x+3^x=3y+2\\2^y+3^y=3x+2\end{cases}\)
Từ đó suy ra để (x;y) là nghiệm của hệ thì \(x>-\frac{2}{3}\) và\(y>-\frac{2}{3}\)
Xét hàm số :
\(f\left(t\right)=2^t+3^t\) có \(f'\left(t\right)=2^t.\ln2+3^t.\ln3>0\) với mọi \(t\in\left(-\frac{2}{3};+\infty\right)\)
Vậy hàm số f đồng biến trên \(\left(-\frac{2}{3};+\infty\right)\)
* Nếu \(x>y\) thì \(3x+2>3y+2\Rightarrow f\left(y\right)>f\left(x\right)\Rightarrow y>x\) mâu thuẫn
* Nếu \(x< y\) thì \(3x+2< 3y+2\Rightarrow f\left(y\right)< f\left(x\right)\Rightarrow y< x\) mâu thuẫn
Suy ra \(x=y\), ta có hệ tương đương :
\(\begin{cases}x=y\\2^x+3^x=3x+2\left(1\right)\end{cases}\)
Xét \(g\left(t\right)=2^t+3^t-3t-2\), ta có
\(g"\left(t\right)=2^t.\ln^22+3^t\ln^23>0\)
nên \(g'\left(t\right)=0\) có tối đa 1 nghiệm
Suy ra \(g\left(t\right)=0\) có tối đa 2 nghiệm
Như vậy phương trình (1) có 2 nghiệm : \(x=1;x=0\)
Vậy hệ phương trình đã cho : \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right);\left(1;1\right)\)