Sau đây là lời giải các bài toán
a) Đặt \(a=\sqrt[3]{x+1},b=\sqrt[3]{x-1}\) thì \(a+b=\sqrt[3]{5x}\). Lập phương hai vế cho ta
\(5x=\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=2x+3\sqrt[3]{x^2-1}\cdot\sqrt[3]{5x}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt[3]{5x\left(x^2-1\right)}\Leftrightarrow x^3=5x\left(x^2-1\right)\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x^2=5\left(x^2-1\right)\).
Từ đây ta được nghiệm \(x=0,\frac{\pm\sqrt{5}}{2}\).
b) Đặt \(a=\sqrt[3]{x-7},b=\sqrt[3]{x-3}\) thì \(a+b=6\sqrt{ab}\). Điều kiện \(ab\ge0.\) Ta chia ra hai trường hợp
Trường hợp 1. Nếu \(x\ge7\) thì \(a,b\ge0\). Chia
cả hai vế cho b, ta được \(\frac{a}{b}=3\pm2\sqrt{2}\) suy ra \(\frac{\sqrt[3]{x-7}}{\sqrt[3]{x-3}}=3-2\sqrt{2}\) (Nghiệm \(3+2\sqrt{2}>1>\frac{a}{b}\)). Từ đó ta được \(x-7=\left(3-2\sqrt{2}\right)^2\left(x-3\right)\Leftrightarrow x-7=\left(17-12\sqrt{2}\right)\left(x-3\right)\Leftrightarrow x=\frac{11-9\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}.\) (thỏa mãn)
Trường hợp 2. Nếu \(x\le3\) thì \(a,b\le0.\) Chia cả hai vế cho b ta được \(\frac{a}{b}=-3\pm2\sqrt{2}\). Từ đó loại nghiệm vì a/b dương.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\frac{11-9\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}.\)
c) Điều kiện phương trình có nghĩa \(\frac{x}{2x-1}\ge0,x\ne\frac{1}{2},0\)
Đặt \(t=\sqrt{\frac{x}{2x-1}}\Rightarrow\frac{1}{t}=\sqrt{\frac{2x-1}{x}}\). Thành thử ta được \(t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x=2x-1\Leftrightarrow x=1\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.