NK

loading...  giải bài 4 giúp em

NA
17 tháng 12 2022 lúc 16:02

Bài 5: .

a) Vì \(a,b,c\ge0\) nên ta có:

\(K=ab+4ac-4bc\ge-4bc\left(1\right)\)

Ta có: \(a+b+2c=1\Rightarrow b+2c=1-a\le1\) (do \(a\ge0\))

\(\Rightarrow b+2c\le1\left(2\right)\)

Theo Cauchy cho 2 số không âm ta có:

\(b+2c\ge2\sqrt{b.2c}\left(3\right)\)

Từ \(\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow2\sqrt{b.2c}\le1\)

\(\Rightarrow4.b.2c\le1\)

\(\Rightarrow4bc\le\dfrac{1}{2}\Rightarrow-4bc\ge-\dfrac{1}{2}\left(4\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(4\right)\Rightarrow K\ge-\dfrac{1}{2}\) 

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=0\\a+b+2c=1\\b=2c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=\dfrac{1}{2}\\c=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

b) Vì \(a,b,c\ge0\Rightarrow K=ab+4ac-4bc\le ab+4ac\left(1'\right)\)

\(a+b+2c=1\Rightarrow a^2+ab+2ac=a\)

\(\Rightarrow ab+4ac=a-2ac-a^2\le a-a^2\) (do \(ac\ge0\))

\(\Rightarrow ab+4ac\le a-a^2\)

Ta có \(a-a^2=-\left(a^2-a\right)=\left(a^2-a+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)=-\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow ab+4ac\le\dfrac{1}{4}\left(2'\right)\)

Từ \(\left(1'\right),\left(2'\right)\Rightarrow K\le\dfrac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}-4bc=-2ac=0\\a+b+2c=1\\a-\dfrac{1}{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b=\dfrac{1}{2}\\c=0\end{matrix}\right.\)

Vậy \(MaxK=\dfrac{1}{4}\), đạt tại \(a=b=\dfrac{1}{2};c=0\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
DA
Xem chi tiết
KT
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
DN
Xem chi tiết
WM
Xem chi tiết
TH
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
LH
Xem chi tiết
AN
Xem chi tiết