Question

Giả sử n là số nguyên sao cho 3n³ - 1011 chia hết cho 1008. Chứng minh n - 1 chia hết cho 48

Answer 1

 Ta có \(3n^3-1011⋮1008\)

\(\Leftrightarrow\left(3n^3-3\right)-1008⋮1008\) 

\(\Leftrightarrow3\left(n^3-1\right)⋮1008\) 

\(\Leftrightarrow n^3-1⋮336\)\(⋮48\) 

\(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)⋮48\).

Do \(n^2+n+1\) là số lẻ với mọi \(n\inℤ\) nên suy ra được \(n-1⋮48\), đpcm.

Answer 2

Giả sử n là số chẵn ta có: 3n³ là số chẵn ⇒ 3n³ - 1011 là số lẻ 

⇒ 3n³ - 1011 không chia hết cho 1008 vậy điều giả sử là sai 

⇒ n là số lẻ. Mặt khác ta cũng có:

3n³ - 1011 ⋮ 1008 ⇔ 3n³ - 3 -1008 ⋮ 1008 ⇔ 3n³ - 3 ⋮ 1008

⇔3(n³-1)⋮ 1008⇔ n³ - 1⋮ 336 ⇔ n³ - 1⋮ 48 ⇔(n-1)(n²+n+1)⋮48(1)

vì n là số lẻ (chứng minh trên) nên ta có: n² + n + 1 là số lẻ 

⇔ n² + n + 1 không chia hết cho 48 (2)

Kết hợp(1) và (2) ta có: n - 1 ⋮ 48 (đpcm)