a. Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)
Mà \(CD\in\left(SCD\right)\Rightarrow\left(SCD\right)\perp\left(SAD\right)\)
b.
E là trung điểm AB, F là trung điểm CD \(\Rightarrow EF||AD\Rightarrow EF\perp AB\)
Lại có: \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp EF\Rightarrow EF\perp\left(SAB\right)\)
\(\Rightarrow\left(SAB\right)\perp\left(SEF\right)\) (1)
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\\SA\in\left(SAB\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{SEA}\) là góc giữa (SEF) và (ABCD)
\(AE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a}{2}\Rightarrow tan\widehat{SEA}=\dfrac{SA}{AE}=2\sqrt{2}\)
c.
\(BC||AD\Rightarrow BC||\left(AHD\right)\Rightarrow d\left(C;\left(AHD\right)\right)=d\left(BC;\left(AHD\right)\right)=d\left(M;\left(AHD\right)\right)\)
Gọi N là giao điểm AM và EF.
Do EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD \(\Rightarrow N\) là trung điểm AM
H là trung điểm SM, N là trung điểm AM \(\Rightarrow HN\) là đường trung bình tam giác SAM
\(\Rightarrow HN||SA\Rightarrow HN\perp\left(ABCD\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}MN\cap\left(HAD\right)=A\\MA=2NA\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(M;\left(AHD\right)\right)=2d\left(N;\left(AHD\right)\right)\)
Trong mp (ABCD), từ N kẻ \(NP\perp AD\)
Trong mp (HNP), từ N kẻ \(NQ\perp HP\)
\(\Rightarrow NQ\perp\left(AHD\right)\Rightarrow NQ=d\left(N;\left(AHD\right)\right)\)
\(HN=\dfrac{1}{2}SA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) ; \(NP=AE=\dfrac{a}{2}\)
Hệ thức lượng trong tam giác vuông HNP:
\(NQ=\dfrac{HN.NP}{\sqrt{HN^2+NP^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\)
\(\Rightarrow d\left(C;\left(AHD\right)\right)=2NQ=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
