[CUỘC THI TRÍ TUỆ VICE]
Trang fanpage của cuộc thi đã có gần 2k like và follow đó, bạn đã like để nhận tin mới nhất chưa?
Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook
Trả lời ngay những câu hỏi dưới đây tích cực để có cơ hội nhận giải thưởng lên đến 1.000.000đ nhé!
Lưu ý từ giờ, những câu hỏi được vừa được duyệt là câu hỏi hay, vừa là những câu hỏi được mình xác nhận cũng sẽ được cộng điểm hỏi đáp trong sự kiện của mình nha ^^
*Trả lời đúng và hay sẽ được nhận 1GP/câu trả lời nha ^^
---------------------------------------------
[Toán.C285-293 _ 6.3.2021]
Câu 285
a) ĐKXĐ: $x\le 10.$
\(PT\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^3+7x^2+18x+4}{\sqrt{10-x}}-10\right)+\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\dfrac{\left(x^5+15x^4+100x^3+360x^2+740x+984\right)}{\sqrt{10-x}\left(x^3+7x^2+8x+4+10\sqrt{10-x}\right)}+1\right]=0\)
Rõ ràng biểu thức trong ngoặc vuông vô nghiệm.
Vậy $x=1$ (TMĐKXĐ)
b) Đặt $t=ab+bc+ca.$
\(a,b,c\in\left[0,1\right]\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab\ge a+b-1.\) (1)
Từ (1) suy ra \(3abc\ge\sum c\left(a+b-1\right)=2t-\left(a+b+c\right)\ge2t-3\)
Cũng do $a,b,c\in \left[0,1\right]$ suy ra \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\Rightarrow abc\le\sum\left(ab-a\right)+1\)
Do đó"\(VT\le\sum\dfrac{a}{1+bc}+\sum\left(ab-a\right)+1\)
\(=\sum\left(\dfrac{a}{1+bc}-a\right)+\sum ab+1\)
\(=-abc\sum\dfrac{1}{1+bc}+ab+bc+ca+1\)
\(\le t+1-\dfrac{9abc}{t+3}\le t+1-\dfrac{3\left(2t-3\right)}{t+3}\le\dfrac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(2t-3\right)\left(3-t\right)\ge0\)
Do \(t\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\) nên nếu $ab+bc+ca\ge \dfrac{3}{2}$ thì bất đẳng thức đúng.
Trong trường hợp ngược lại ta có \(VT\le t+1-\dfrac{9abc}{t+3}\le t+1\le\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}\) (đpcm)
Hoàn tất chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi (bạn đọc tự xét)
290
Ta có \(\dfrac{a^4b}{a^2+1}=a^2b-\dfrac{a^2b}{a^2+1}\ge a^2b-\dfrac{a^2b}{2a}=a^2b-\dfrac{ab}{2}\)
Chứng minh tương tự ta được:
\(\dfrac{b^4c}{b^2+1}\ge b^2c-\dfrac{bc}{2};\dfrac{c^4a}{c^2+1}\ge c^2a-\dfrac{ca}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^4b}{a^2+1}+\dfrac{b^4c}{b^2+1}+\dfrac{c^4a}{c^2+1}\ge a^2b+b^2c+c^2a-\dfrac{ab}{2}-\dfrac{bc}{2}-\dfrac{ca}{2}\)
Áp dụng bđt Cô-si:
\(a^2b+a^2b+b^2c\ge3\sqrt[3]{a^2b\cdot a^2b\cdot b^2c}=3\sqrt[3]{a^3b^3\cdot abc}=3ab\)
Tương tự: \(b^2c+b^2c+c^2a\ge3bc;c^2a+c^2a+a^2b\ge3ca\)
\(\Rightarrow a^2b+a^2b+b^2c+b^2c+b^2c+c^2a+c^2a+c^2a+a^2b\ge3ab+3bc+3ca\Rightarrow3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^4b}{a^2+1}+\dfrac{b^4c}{b^2+1}+\dfrac{c^4a}{c^2+1}\ge a^2b+b^2c+c^2a-\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge ab+bc+ca-\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)=\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=\dfrac{3}{2}\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
C288:
Ta có:
\(\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\sqrt{\dfrac{x^2}{yz+xyz.x}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+xy+yz+zx}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{x}{x+y}.\dfrac{x}{x+z}}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{z+x}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{y}{\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{x+y}\right);\dfrac{z}{\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{y+z}\right)\)
\(\Rightarrow Q=\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{z+x}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{x+y}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{y+z}\right)=\dfrac{3}{2}\)
\(maxQ=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}\)
C292: (Thừa C293 không có)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{4}{a+2b+c}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{4}{b+2c+a};\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{4}{c+2a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{2}{a+2b+c}+\dfrac{2}{b+2c+a}+\dfrac{2}{c+2a+b}\)
Ta đi chứng minh \(\dfrac{2}{a+2b+c}\ge\dfrac{12}{b^2+63}\left(2\right)\):
\(\left(2\right)\Leftrightarrow b^2+63\ge6a+12b+6c\)
\(\Leftrightarrow2b^2+a^2+c^2+36-6a-12b-6c\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(b-3\right)^2+\left(a-3\right)^2+\left(c-3\right)^2\ge0\left(3\right)\)
Vì \(\left(3\right)\) đúng nên \(\left(2\right)\) đúng.
Tương tự ta chứng minh được: \(\dfrac{2}{b+2c+a}\ge\dfrac{12}{c^2+63};\dfrac{2}{c+2a+b}\ge\dfrac{12}{a^2+63}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{12}{a^2+63}+\dfrac{12}{b^2+63}+\dfrac{12}{c^2+63}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=3\)
C291:
ĐK: \(x\ge\dfrac{5}{3}\)
\(pt\Leftrightarrow2\sqrt{2x-5}-\left(x-1\right)+2\sqrt{3x-5}-\left(x+1\right)=x^2-10x+21\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8x-20-x^2+2x-1}{2\sqrt{2x-5}+\left(x-1\right)}+\dfrac{12x-20-x^2-2x-1}{2\sqrt{2x-5}+\left(x+1\right)}=x^2-10x+21\) (Do \(2\sqrt{2x-5}+x-1>0;2\sqrt{3x-5}+x+1>0\))
\(\Leftrightarrow-\dfrac{x^2-10x+21}{2\sqrt{2x-5}+\left(x-1\right)}-\dfrac{x^2-10x+21}{2\sqrt{2x-5}+\left(x+1\right)}=x^2-10x+21\)
\(\Leftrightarrow\left(1+\dfrac{1}{2\sqrt{2x-5}+\left(x-1\right)}+\dfrac{1}{2\sqrt{2x-5}+\left(x+1\right)}\right)\left(x^2-10x+21\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-10x+21=0\) (Do \(1+\dfrac{1}{2\sqrt{2x-5}+\left(x-1\right)}+\dfrac{1}{2\sqrt{2x-5}+\left(x+1\right)}>0\))
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(tm\right)\\x=7\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
C287: (Mong ad ra thêm nhiều phương trình và BĐT)
Nếu \(y=0\) thì hệ đã cho vô nghiệm
Xét \(y\ne0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(4xy+y+4\right)=y^2\left(2y+5\right)-1\\2xy\left(x-2y\right)+x-14y=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2xy+1\right)^2+y^2\left(x-2y\right)=5y^2\\\left(x-2y\right)\left(2xy+1\right)=12y\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x+\dfrac{1}{y}\right)^2+\left(x-2y\right)=5\\\left(x-2y\right)\left(2x+\dfrac{1}{y}\right)=12\end{matrix}\right.\)
Đặt \(2x+\dfrac{1}{y}=a;x-2y=b\)
Hệ phương trình tương đương \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b=5\\ab=12\end{matrix}\right.\left(1\right)\)
Nếu \(a=0\) thì hệ \(\left(1\right)\) vô nghiệm
Nếu \(a\ne0\), \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+\dfrac{12}{a}=5\\b=\dfrac{12}{a}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3-5a+12=0\\b=\dfrac{12}{a}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+3\right)\left(a^2-3a+4\right)=0\\b=\dfrac{12}{a}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=-4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+\dfrac{1}{y}=-3\\x-2y=-4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=1\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{7}{2}\\y=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
