Câu hỏi của Quoc Tran Anh Le

Question

[CUỘC THI TRÍ TUỆ VICE]Trang fanpage của cuộc thi đã có 1.000 like đó, bạn đã like để nhận tin mới nhất chưa?Cuộc thi Trí tuệ VICE | FacebookMuốn đề xuất câu hỏi? Các bạn hãy hỏi trực tiếp trên hoc24 ...

Hồng Quang · Accepted Answer

Bài 286: Bất đẳng thức neibizt khá nổi tiếng :D Bđt <=> $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{9}{2}$$\Leftrightarrow\left(2a+2b+2c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{b+c}\right)\ge9$ ( Có thể đơn giản hóa bất đẳng thức bằng việc đặt biến phụ )Đặt: $\left\{{}\begin{matrix}x=b+c\y=c+a\z=a+b\end{matrix}\right.$ khi đó ta có: $\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{y+z-x}{2}\b=\dfrac{z+x-y}{2}\c=\dfrac{x+y-z}{2}\end{matrix}\right.$ Bất đẳng thức trở thành: $\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9$ ( luôn đúng theo AM-GM )Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu "=" xảy ra tại a=b=cCâu trả lời: Bài 286: Bất đẳng thức neibizt khá nổi tiếng :D Bđt <=> $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{9}{2}$$\Leftrightarrow\left(2a+2b+2c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{b+c}\right)\ge9$ ( Có thể đơn giản hóa bất đẳng thức bằng việc đặt biến phụ )Đặt: $\left\{{}\begin{matrix}x=b+c\y=c+a\z=a+b\end{matrix}\right.$ khi đó ta có: $\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{y+z-x}{2}\b=\dfrac{z+x-y}{2}\c=\dfrac{x+y-z}{2}\end{matrix}\right.$ Bất đẳng thức trở thành: $\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9$ ( luôn đúng theo AM-GM )Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu "=" xảy ra tại a=b=c

Hồng Phúc · Answer

C286.(Cách khác)Áp dụng BĐT BSC và BĐT $ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}$:$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$$=\dfrac{a^2}{ab+ca}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ca+bc}$$\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{3}{2}$Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$Câu trả lời: C286.(Cách khác)Áp dụng BĐT BSC và BĐT $ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}$:$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$$=\dfrac{a^2}{ab+ca}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ca+bc}$$\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{3}{2}$Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Hồng Phúc · Answer

ĐK: $y\left(2x-y\right)\ge0;5y^2-4x^2\ge0;x\le2;y\ge-1$$\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{y^3\left(2x-y\right)}+\sqrt{x^2\left(5y^2-4x^2\right)}=4y^2\left(1\right)\\sqrt{2-x}+\sqrt{y+1}=x+y^2\left(2\right)\end{matrix}\right.$$\left(1\right)\Leftrightarrow2.\sqrt{3}y.\sqrt{3\left(2xy-y^2\right)}+2.x.\sqrt{5y^2-4x^2}=8y^2$$\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}y-\sqrt{6xy-3y^2}\right)^2+\left(x-\sqrt{5y^2-4x^2}\right)^2+3\left(x-y\right)^2=0$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3}y=\sqrt{6xy-3y^2}\x=\sqrt{5y^2-4x^2}\x=y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y$Khi đó $\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{2-x}+\sqrt{x+1}=x+x^2$$\Leftrightarrow...$Câu trả lời: ĐK: $y\left(2x-y\right)\ge0;5y^2-4x^2\ge0;x\le2;y\ge-1$$\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{y^3\left(2x-y\right)}+\sqrt{x^2\left(5y^2-4x^2\right)}=4y^2\left(1\right)\\sqrt{2-x}+\sqrt{y+1}=x+y^2\left(2\right)\end{matrix}\right.$$\left(1\right)\Leftrightarrow2.\sqrt{3}y.\sqrt{3\left(2xy-y^2\right)}+2.x.\sqrt{5y^2-4x^2}=8y^2$$\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}y-\sqrt{6xy-3y^2}\right)^2+\left(x-\sqrt{5y^2-4x^2}\right)^2+3\left(x-y\right)^2=0$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3}y=\sqrt{6xy-3y^2}\x=\sqrt{5y^2-4x^2}\x=y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y$Khi đó $\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{2-x}+\sqrt{x+1}=x+x^2$$\Leftrightarrow...$

Violympic toán 9

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)