\(y=x^3-3x^2+\left(2m^2+1\right)x+m-3\left(C\right)\)
\(y=2x^2+x-m-2\left(P\right)\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(C\right)\&\left(P\right):\)
\(x^3-3x^2+\left(2m^2+1\right)x+m-3=2x^2+x-m-2\)
\(\Leftrightarrow x^3-5x^2+2m^2x+2m-1=0\left(1\right)\)
Để đồ thị có \(2\) giao điểm phân biệt và \(x_1+x_2=3\) khi \(\left(1\right)\) có \(3\) nghiệm phân biệt \(x_1+x_2+x_3=5\Leftrightarrow x_3=2\) hay \(\left(1\right)\) có 1 nghiệm \(x=2\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2^3-5.2^2+2m^2.2+2m-1=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+2m-13=0\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{-1\pm\sqrt{52}}{4}\left(1\right)\)
Đặt \(g\left(x\right)=x^3-5x^2+2m^2x+2m-1\)
\(g'\left(x\right)=3x^2-10x+2m^2\)
\(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow3x^2-10x+2m^2=0\) có 2 nghiệm phân biệt hay \(\left(1\right)\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
\(\Leftrightarrow\Delta'=25-6m^2>0\)
\(\Leftrightarrow m^2< \dfrac{25}{6}\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{5\sqrt{6}}{6}< m< \dfrac{5\sqrt{6}}{6}\left(2\right)\)
\(\left(1\right);\left(2\right)\Leftrightarrow m\in\varnothing\)
Vậy không có giá trị \(m\) để thỏa đề bài