Question

CMR:\(\sqrt{xy}\le\frac{|x|+|y|}{2}\left(xy>0\right)\)

Answer 1

\(\sqrt{xy}\le\frac{\left|x\right|+\left|y\right|}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left|x\right|+\left|y\right|\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge2\sqrt{xy}\) ( vì \(x,y>0\) ) 

\(\Leftrightarrow\)\(x-2\sqrt{xy}+y=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng với mọi x, y ) 

Vậy \(\sqrt{xy}\le\frac{\left|x\right|+\left|y\right|}{2}\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Answer 2

\(\left|x\right|\ge0\);  \(\left|y\right|\ge0\) Áp dụng bất đặng thức Cauchy cho hai số không âm:

\(\left|x\right|+\left|y\right|\ge2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}=2\sqrt{xy}\)Vì xy>0

Suy ra điều cần chứng minh

Answer 3

Ta có BĐT: \(\left|x\right|\ge x;\left|y\right|\ge y\forall x;y\)

Áp dụng vào ta có: \(\frac{\left|x\right|+\left|y\right|}{2}\ge\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\) (luôn đúng theo BĐT Cô si)

Mà xy > 0 nên ta có: \(\frac{\left|x\right|+\left|y\right|}{2}=\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\) 

Suy ra đpcm