Số nguyên tố \(p\) lớn hơn 3 có dạng \(3k+1\) hoặc \(3k+2\). Dạng nào thì \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\) cũng chia hết cho 3.
Số \(p\) lớn hơn bằng 5 nên có dạng \(4k+1\) hoặc \(4k+3\). Dạng nào thì trong 2 số \(p-1\) và \(p+1\) có 1 số chia hết cho 4 và số còn lại chẵn nên tích chia hết cho 8.
Vậy \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\) chia hết cho 24
vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 suy ra p có dạng 3k +1 hoặc 3k+2
nếu p = 3k+1 suy ra (p-1)(p+1)=(3k+1 -1)(3k+1+1)=3k.(3k+2)=9k+6k chia hết cho 3
nếu p = 3k+2 suy ra (p-1)(p+1)=(3k+1)(3k+3)=9k+3k+9k+3 chia hết cho 3
mà 24=2^2.3
suy ra dpcm
Vì p là số nguyên tố >3 nên p là số lẻ
=> 2 số p-1, p+1 là 2 số chẵn liên tiếp
=>(p-1)(p+1) chia hết cho 8 (1)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
=> p=3k+1 hoặc p=3k+2 (k thuộc N*)
+)Với p=3k+1 => (p-1)(p+1)=3k(3k+2) chia hết cho 3 (*)
+) Với p=3k+2 => (p-1)(p+1)=(3k-1).3.(k+1) chia hết cho 3 (**)
từ (*) và (**)=>(p-1)(p+1) chia hết cho 3 (2)
Vì (8;3)=1 =>từ (1) và (2) => (p-1)(p+1) chia hết cho 24
Ta có: p>3, p nguyên tố
=>p\(⋮̸\)3
=> p chia 3 dư 1 hoặc p chia 3 dư 2
=>p=3K+1 hoặc p= 3K+2 (K\(\in\)\(ℕ^∗\))
+p=3K+1
(p-1).(p+1)=(3K+1-1).(3K+1+1)=3K.(3K+2) \(⋮\)3
Vậy p= 3k+1 thì chia hết cho 3 (1)
+p=3K+2
(p-1).(p+1)=(3K+2-1).(3K+2+1)=(3k+1).(3K+3)=(3K+1).(3.(K+1)\(⋮\)3
Vậy p= 3K+2 thì chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và(2) suy ra p > 3 thì chia hết cho 3 (a)
Mà p-1 và p+1 là 2 số chẵn liên tiếp
=> (p-1).(p+1) chia hết cho 8 (b)
Từ (a) và (b) suy ra nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 24
Chúc bn học tốt
tớ cũng có 1 bài toán y hệt nhưng cô giáo môn toán của tớ lại dạy khác các cậu
nếu các cậu muốn tớ giải thì hãy kết bạn với tớ nhé
nick của tới là bachngoc0966592418