Question

CMR nếu ab =c² với a ;b ;c thuộc N và ƯCLN(a ,b)=1 thì a và b cùng là số chính phương

 

Answer 1

Gọi d=(a;c)          (d\(\in\)N^*)

\(\Rightarrow a=dm,c=dn\)(m;n\(\in\)N^*; (m;n)=1)

Vì (m;n)=1 nên (m;n²)=1 (tự chứng minh)

Do a\(⋮\)d (vì a=dm) mà (a;b)=1 \(\Rightarrow\)(b;d)=1 (tự chứng minh)

Ta có a.b=c²

\(\Rightarrow\)dm.b=(dn)²

\(\Rightarrow\)dm.b=d².n²

\(\Rightarrow\)m.b=d.n² (*)

\(\Rightarrow\)m.b\(⋮\)n²

\(\Rightarrow\)b\(⋮\)n² (1) (Vì (m;n²)=1)

Từ (*) suy ra: d.n²\(⋮\)b

\(\Rightarrow\)n²\(⋮\)b (2) (Vì (b;d)=1)

Từ (1) và (2) suy ra b=n² (Vì b;n²\(\ge\)0)

\(\Rightarrow\)b là số chính phương (3)

Mà a.b=c²\(\Rightarrow\)a.n²=c² \(\Rightarrow a=\left(\frac{c}{n}\right)^2\)

                \(\Rightarrow a=d^2\)(vì c=dn)

                \(\Rightarrow\)a là số chính phương (4)

Từ (3) và (4) suy ra đpcm.

Ok nha, quay cuồng

Answer 2

(m;n^2) là ƯCLN của m và n^2. ok