Ta có : \(\tan A+\tan C=2\tan B\)
\(\Rightarrow\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\sin C}{\cos C}=2\frac{\sin B}{\cos B}\)
\(\Rightarrow\frac{\sin A\cos C+\sin C\cos A}{\cos A\cos C}=\frac{2\sin B}{\cos C}\)
\(\Rightarrow\frac{\sin\left(A+C\right)}{\cos A\cos C}=\frac{2\sin B}{\cos B}\)
\(\Rightarrow\frac{\sin\left(180-II\right)}{\cos A\cos C}=\frac{2\sin B}{\cos B}\)
\(\Rightarrow\frac{\sin\left(B\right)}{\cos A\cos C}=\frac{2\sin B}{\cos B}\)
\(\Rightarrow\cos B=2\cos A\cos C\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=2\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(\Rightarrow3c^2-2b^2=\frac{\left(2b^2-c^2\right)c^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow2b^4-b^2c^2-c^4=0\)
\(\Rightarrow\left(b^2-c^2\right)\left(2b^2+c^2\right)=0\)
\(\Rightarrow b=c\)
Thay vào điều kiện \(a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\)ta thu được a = b = c , tam giác đều
a2+b2+c2=ab+bc+ca
<=> a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
<=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
=>a=b=c
=> tam giác đó đều
a2 + b2 + c= ab + ac + bc
=> 2a2 + 2b2 + 2c2= 2ab + 2ac + 2bc
=> ( a2 - 2ab + b2) + ( a2 - 2ac + c2) + ( b2 - 2bc + c2)=0
=> ( a - b)2 + ( a - c)2 + ( b - c)2 =0
Vì ( a - b)2 >= 0
( a - c)2>= 0
( b - c)2>=0
=> Để ( a - b)2 + ( a - c)2 + ( b - c)2 =0 thì a - b =0 ; a - c=0; b-c=0
=> a=b=c
=> Tam giác đó là tam giác đều