Question

CMR: Không tồn tại a, b thuộc Z sao cho: \(\left(a+b\sqrt{2}\right)^2=2004+2003\sqrt{2}\)

Answer 1

Lời giải:

Giả sử tồn tại $a,b\in\mathbb{Z}$ thỏa mãn ycđb

ĐKĐB $\Leftrightarrow a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}=2004+2003\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow (a^2+2b^2-2004)=\sqrt{2}(2003-2ab)$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}=\frac{a^2+2b^2-2004}{2003-2ab}(*)$

Với $a,b$ nguyên thì $\frac{a^2+2b^2-2004}{2003-2ab}$ là số hữu tỉ. 

Mà $\sqrt{2}$ là số vô tỉ (đây là bài toán quen thuộc)

Do đó $(*)$ vô lý, hay điều giả sử là sai, tức là không tồn tại $a,b\in\mathbb{Z}$ thỏa mãn đkđb.