Question

CMR: \(\frac{x+y}{2}=\sqrt{xy}\forall x,y>0\)

Answer 1

Đề sai rồi phải là \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\) chứ!

Ta có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\forall x;y\)

         \(\Leftrightarrow x-2\sqrt{xy}+y\ge0\)

         \(\Leftrightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)

        \(\Leftrightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y

Vậy .....

Tk nha!

Answer 2

mình chỉnh lại đề: CMR:  \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)     \(\forall x;y>0\)

           Bài làm

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

       \(\frac{x+y}{2}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{2}=\sqrt{xy}\)

Dấu "=" xảy ra   \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

Answer 3

\(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow x+y\ge\sqrt{4xy}\)

\(\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)