a^4 + b^4 >= 2a^2b^2
b^4 + c^4 >= 2b^2c^2
a^4 + c^4 >= 2a^2c^2
--------------------------------------...
Cộng vế theo vế ta có:
=> 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 >= 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2)
<=> a^4 + b^4 + c^4 >= a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 (1)
Áp dụng Cauchy lần nữa ta có:
a^2b^2 + b^2c^2 = b^2 (a^2 +c^2) >= b^2(2ac)
b^2c^2 + a^2c^2 = c^2 (b^2 + a^2) >= c^2(2ba)
a^2b^2 + a^2c^2 = a^2 (b^2 + c^2) >= a^2(2bc)
--------------------------------------...
Cộng vế theo vế ta có
=> 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) >= 2[b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)]
<=> a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 >= b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)
<=> ......................................>= abc ( b + c + a) (2)
từ (1) và (2) ta có điều fài chứng minh.
Ta có : a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2>=abc(a+b+c)
<=> 2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2>=2abc(a+b+c)
<=> 2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^ -2abc(a+b+c)>=0
<=>(a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2)+(b^2c^2-2abc^2+a^2c^2)+(a^2c^2-2a^bc+a^2b^2)>=0
<=>(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2>=0 là đúng
Ta có a^4+b^4+c^4>=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2
Theo t/c bắc cầu
=>a^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c)