Câu hỏi của Tuấn Phạm Minh

Question

CMR: a + $\dfrac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}$  $\ge$ 3 với mọi a,b >0.

Võ Đông Anh Tuấn · Accepted Answer

Đặt $A=x+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}\ge3$

$=\left(x-y\right)+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}+\left(y+1\right)-1$

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có :

$\left(x-y\right)+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-y\right).4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}}=\dfrac{4}{y+1}$

Xảy ra khi : $\left(x-y\right)\left(y+1\right)=2$ ( do $a,b>0$)

$\Rightarrow A\ge\dfrac{4}{y+1}+\left(y+1\right)-1$

Sử dụng Cô-Si lần nữa, ta có :

$\dfrac{4}{y+1}+\left(y+1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{4}{y+1}\left(y+1\right)}=2.2=4$

Xảy ra khi $\left(y+1\right)^2=4\Leftrightarrow y=1$

Từ đây ta có thể thấy : $A\ge4-1=3$

Dấu "=" xảy ra khi $\left(x-y\right)\cdot\left(y+1\right)=2$ và $y=1$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\y=1\end{matrix}\right..$

Bài này hồi lúc cũng không biết làm, h biết truyền lại cho bạn :DCâu trả lời: Đặt $A=x+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}\ge3$