Question

CM

a) \((n^4-n^2)\) ⋮ 12

b) \(n(n+2)(25n^2-1)\)⋮24

Answer 1

a) n⁴ - n² = n²(n² - 1) = n²(n - 1)(n + 1)

Vì n, n - 1, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp ⇒ có ít nhất 1 số chia hết cho 3 ⇒ (n - 1)n(n + 1) ⋮ 3 ⇒ n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 3 (1)

Vì n, n - 1, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp ⇒ có ít nhất một số chia hết cho 2.

Giả sử số chia hết cho 2 đó là n - 1 ⇒ n + 1 cũng chia hết cho 2 ⇒ (n -1)(n + 1) ⋮ 4 ⇒ n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 4

Nếu số chia hết cho 2 đó là n + 1, lập luận tương tự ta cũng có n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 4

Nếu n ⋮ 2

⇒ n² ⋮ 4 => n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 4

Như vậy n²(n - 1)(n + 1) ⋮ 4 (2)

Từ (1) và (2)

⇒ n⁴ - n² ⋮ 3 và 4 mà ƯCLN(3;4) = 1

⇒ n⁴ - n² ⋮ 12

Answer 2

b) 

Ta thấy rằng  chia hết cho  với mọi số tự nhiên . Vậy để chứng minh  chia hết cho ta cần chứng minh  chia hết cho 24.

Để ý rằng  là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp, từ đó suy ra chắc chắn một trong bốn số đó phải có một số chia hết cho 4, một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 2.

Vậy  chia hết cho 

Vậy ta có đpcm.