Lời giải:
Giả sử tồn tại hai số nguyên thỏa mãn điều kiện để bài:
\(2x^2+y^2=2007\)
Từ điều kiện trên ta suy ra $y$ lẻ.
Sử dụng bổ đề sau: Một số chính phương \(a^2\) khi chia cho $8$ thì có thể có số dư là \(0,1,4\)
CM bổ đề:
Thật vậy:
+) Nếu \(a=4k\Rightarrow a^2\equiv 0\pmod 8\)
+) Nếu \(a=4k+1\Rightarrow a^2=16k^2+8k+1\equiv 1\pmod 8\)
+) Nếu \(a=4k+2\Rightarrow a^2=16k^2+16k+4\equiv 4\pmod 8\)
+) Nếu \(a=4k+3\Rightarrow a^2=16k^2+24k+9\equiv 1\pmod 8\)
Do đó ta có đpcm.
Quay lại bài toán:
Hiển nhiên $y$ lẻ nên \(y^2\equiv 1\pmod 8\)
\(x^2\equiv 0,1,4\pmod 8\Rightarrow 2x^2\equiv 0,2\pmod 8\)
Từ hai điều trên suy ra \(2x^2+y^2\equiv 1,3\pmod 8\)
Mà \(2007\equiv 7\pmod 8\)
Do đó PT \(2x^2+y^2=2007\) vô nghiệm nguyên, tức là không tồn tại số nguyên $x,y$ thỏa mãn.
Ta có đpcm.
