Dùng côsi
a^4+b^4>=2a^2b^2
b^4+c^4>=2b^2c^2
c^4+a^4>=2c^2a^2
\(\Rightarrow\)2(a^4+b^4+c^4)>=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) (1)
dùng côsi tiếp bạn sẽ cm được 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)>=2abc(a+b+c) (2)
Từ 1 và 2 suy ra dpcm
áp dụng bđt Cauchy cho các số dương trên ta được
\(a^4+b^4>=2\sqrt{a^4.b^4}=2a^2.b^2\)
tương tự \(b^4+c^4>=2b^2.c^2\)
\(a^4+c^4>=2a^2.c^2\)
cộng theo vế ta được 2(a^4+b^4+c^4)>=2(a^2.b^2+b^2.c^2+a^2.c^2)
=> a^4+b^4+c^4>=a^2.b^2+b^2.c^2+a^2.c^2 (1)
áp dụng bđt Cauchy ta được
\(a^2b^2+b^2c^2>=2\sqrt{a^2b^2.b^2c^2}=2.ab.bc=2ab^2c\)
làm tương tự \(a^2b^2+c^2a^2>=2a^2bc\)
\(b^2c^2+c^2a^2>=2abc^2\)
cộng theo vế => 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)>=2abc(a+b+c)
=> a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>=abc(a+b+c) (2)
(1),(2)=> a^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c) (đpcm)
