Gọi d là Ước chung lớn nhất của chúng ta có
n+2 chia hết cho d
2n+3 chia hết cho d
=>n+2-2n+3 chia hết cho d
=>2(n+2)-2n+3 chia hết cho d
=>2n+4-2n+3 chia hết cho d
=>1 chia hết cho d
=> d=1
Vậy ước chung của 2 số trên là 1 nên 2 số đó là 2 số nguyên tố cùng nhau
Gọi d là ƯC (n + 2; 2n + 3) ( d ∈ N ) Nên ta có :
n + 2 ⋮ d và 2n + 3 ⋮ d
<=> 2(n + 2) ⋮ d và 1(2n + 3) ⋮ d
<=> 2n + 4 ⋮ d và 2n + 4 ⋮ d
=> (2n + 4) - (2n + 3) ⋮ d
=> 1 ⋮ d => d = 1
Vì ƯC ( n + 2 ; 2n + 3 ) = 1 => n + 2 và 2n + 3 là nguyên tố cùng nhau
Gọi d là ƯCLN (n + 2 ; 2n + 3)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+2\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+4⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow2n+4-\left(2n+3\right)⋮d\)
\(2n+4-2n-3⋮d\)
\(4-3⋮d\)
\(1⋮d\)\(\Rightarrow d=1\)
\(\RightarrowƯCLN\left(n+2;2n+3\right)=1\)
Vậy với mọi số tự nhiên n thì hai số n + 2 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Goi d la UCLN cua 2n+3 va 2+n
2n+3 chia het cho d
2+n chia hết cho d----> 2.(2+n)=4+2n chia het cho d
--> 4+2n-(2n+3) chia het cho d
--->4+2n-2n-3 chia het cho d
--> 1 chia het cho d
vay 2n+3 va n+2 la hai so nguyen to cung nhau