Với \(n\in N\) thì n có 2 dạng : \(\left[{}\begin{matrix}n=2k\\n=2k+1\end{matrix}\right.\)\(\left(k\in N\right)\)
+) Với \(n=2k\) thì :
\(\left(n+4\right)\left(n+5\right)=\left(2k+4\right)\left(2k+5\right)\)
Mà \(2k+4⋮2\) ; \(2k+5\in N\)
\(\Leftrightarrow\left(2k+4\right)\left(2k+5\right)⋮2\)
\(\Leftrightarrow\left(n+4\right)\left(n+5\right)⋮2\left(1\right)\)
+) Với \(n=2k+1\) thì :
\(\left(n+4\right)\left(n+5\right)=\left(2k+1+4\right)\left(2k+1+5\right)=\left(2k+5\right)\left(2k+6\right)\)
Mà \(\left(2k+6\right)⋮2;\left(2k+5\right)\in N\)
\(\Leftrightarrow\left(2k+5\right)\left(2k+6\right)⋮2\)
\(\Leftrightarrow\left(n+4\right)\left(n+5\right)⋮2\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow\) Vợi mọi \(n\in N\) thì \(\left(n+4\right)\left(n+5\right)⋮2\left(đpcm\right)\)
Vì (n + 4)(n + 5) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 2
\(\Rightarrow\) (n + 4)(n + 5)\(⋮\)5
TH1 : n = 2.k
=> (n+4).(n+5)
=(2k+4).(2k+5)
mà (2k +4 )⋮ 2 => (2k+4).(2k+5) ⋮ 2
hay (n+4).(n+5) ⋮ 2
TH2 n = 2.k + 1
=> ( n+ 4 ) . (n+ 5)
= (2k+1+4).(2k+1+5)
=( 2k + 5 ) . (2k+6)
mà ( 2k + 6 ) ⋮ 2 => (2k+5).(2k+6) ⋮ 2
hay (n+4 ). (n+5) ⋮ 2
Vậy với mọi số tự nhiên n thì (n+4).(n+5) ⋮ 2