Ta cần chứng minh \(1^3+2^3+3^3+\dots+k^3=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2\) (1) (với \(k\ge1;k\in\mathbb{N}\))
+, Với \(k=1\) thì (1) trở thành: \(1^3=\left[\dfrac{1\left(1+1\right)}{2}\right]^2\) (luôn đúng)
+, Giả sử (1) đúng đến \(k=n;\)(\(n\in\mathbb{N}^*\)), khi đó:
\(1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\left[\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
*) Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với \(k=n+1\). Thật vậy, với \(k=n+1\) khi đó:
\(1^3+2^3+3^3+\dots+n^3+\left(n+1\right)^3\)
\(=\left[\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2+\left(n+1\right)^3\) (theo giả thiết quy nạp)
\(=\left(n+1\right)^2\left(\dfrac{n^2}{4}+n+1\right)\)
\(=\left(n+1\right)^2\left(\dfrac{n^2+4n+4}{4}\right)\)
\(=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}=\left[\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\right]^2\)
Vậy (1) đúng với k=n+1. Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương k.
Áp dụng (1) với \(k=10\), ta được:
\(1^3+2^3+3^3+\dots+10^3=\left[\dfrac{10\left(10+1\right)}{2}\right]^2\)
\(=\left(5.11\right)^2=5^2.11^2⋮11\) (đpcm)
#$\mathtt{Toru}$
Ta có: \(\left(1^3+10^3\right)⋮\left(1+10\right)=11\) ; \(\left(2^3+9^3\right)⋮\left(2+9\right)=11\) ; \(\left(3^3+8^3\right)⋮\left(3+8\right)=11\) ; \(\left(4^3+7^3\right)⋮\left(4+7\right)=11\); \(\left(5^3+6^3\right)⋮\left(5+6\right)=11\).
\(\Rightarrow\sum\limits^{11}_{n=1}n^3⋮11\left(đpcm\right)\)