Question

chứng minh -x^2+4xy-5y^2-8y-18 luôn âm với mọi x

tìm giá trị nhỏ nhất của x^2+4xy+2y^2-22y+173

Answer 1

\(-x^2+4xy-5y^2-8y-18\)

\(=-\left(x^2-4xy+4y\right)-\left(y^2+8y+16\right)-2\)

\(=-\left(x+2y\right)^2-\left(y+4\right)^2-2\)

Vì \(-\left(x+2y\right)^2\le0;-\left(y+4\right)^2\le\forall x;y\)

\(\Rightarrow-\left(x+2y\right)^2-\left(y+4\right)^2-2< 0\forall x;y\)

\(\Rightarrow dpcm\)

Answer 2

a) \(-x^2+4xy-5y^2-8y-18=-\left(x^2-4xy+5y^2+8y+18\right)\)

\(=-\left[\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+8y+16\right)+2\right]\)

\(=-\left[\left(x-2y\right)^2+\left(y+4\right)^2+2\right]\)

Vì \(\left(x-2y\right)^2\ge0\forall x,y\); \(\left(y+4\right)^2\ge0\forall y\); \(2>0\)

\(\Rightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+4\right)^2+2>0\)

\(\Rightarrow-\left[\left(x-2y\right)^2+\left(y+4\right)^2+2\right]< 0\)

\(\Rightarrow-x^2+4xy-5y^2-8y-18\)luôn âm với mọi x ( đpcm )