Do UCLN(n,6) = 1 nên n không chia hết cho 2 và 3.
n không chia hết cho 2 nên n phải là số lẻ, n không chia hết cho 3 nên n chỉ có thể có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
Nếu n = 3k + 1 thì k phải là số chẵn. Đặt k = 2j, ta có n = 3.2j + 1 = 6j + 1
Khi đó \(n^2-1=\left(6j+1\right)^2-1=36j^2+12j=12j\left(3j+1\right)\)
Nếu j chẵn, \(j=2t\Rightarrow n^2-1=12.2t\left(6t+1\right)=24t\left(6t+1\right)⋮24\)
Nếu j lẻ, \(j=2t+1\Rightarrow n^2-1=12.\left(2t+1\right)\left(6t+4\right)=24\left(2t+1\right)\left(3t+2\right)⋮24\)
Vậy \(n^2-1⋮24\)
Nếu \(n=3k+2\) thì k là số lẻ. Đặt \(k=2j+1\Rightarrow n=3\left(2j+1\right)+2=6j+5\)
\(n^2-1=\left(6j+5\right)^2-1=36j^2+60j+24=12j\left(3j+5\right)+24\)
Nếu j chẵn, \(j=2t\Rightarrow n^2-1=12.2t\left(6t+5\right)=24t\left(6t+5\right)⋮24\)
Nếu j lẻ, \(j=2t+1\Rightarrow n^2-1=12.\left(2t+1\right)\left(6t+8\right)=24\left(2t+1\right)\left(3t+4\right)⋮24\)
Vậy \(n^2-1⋮24\)
Tóm lại , khi UCLN(n ; 6) = 1 thì \(n^2-1⋮6\)