Question

chứng minh rằng:n và n\(^5\) có chữ số tận cùng giống nhau

Answer 1

Ta có: \(n^5-n\) 

\(=n\left(n^4-1\right)\) 

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\) 

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\) 

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) 

Lại có: n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5 

          5n(n-1)(n+1) chia hết cho 5

=> n⁵-n chia hết cho 5 (1) 

Mặt khác: n(n-1)(n-2)(n+2) chia hết cho 2 

               5n(n-1)(n+1) chia hết cho 2 

=> n⁵-n chia hết cho 2 (2) 

Từ (1) và (2) =>n⁵-n chia hết cho 10 

=> n và n⁵ có chữ số tận cùng giống nhau