Bạn bổ sung thêm điều kiện a,b là các số không âm nhé :)
Áp dụng BĐT \(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge a+b\) được :
\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{a+b}{\sqrt{2}}.\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a+b}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b
1. Chứng minh rằng: \(\sqrt[3]{a^3+b^3+c^3}\le\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
2. Cho a,b,c là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}}\) là 1 số hữu tỉ
Cho các số dương a, b, c . Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\)
Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
\(\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\le a+b+c+3\)
Chứng minh rằng \(\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\forall a,b,c>0\)
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng: (a+b)2+\(\frac{a+b}{2}\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)
Chứng minh rằng: Nếu a, b là 2 số trái dấu thì: \(\frac{b-a}{b\sqrt{\frac{-a}{b}}}\)=\(\frac{a-b}{a\sqrt{\frac{-b}{a}}}\)
Cho \(a\ge\frac{1}{2}\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{2a-1}\le a\)
Cho a, b, c là các số thực dương chứng minh rằng
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\) bé hơn \(2\)
Các bạn giúp mình nhé
\(\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\le\frac{3}{1+2\sqrt[3]{abc}}\)
cho 0<a, b, c <1 chứng minh