-Sửa đề: \(A=\dfrac{1}{3}.\left(11...1-33...300...0\right)\) (3n chữ số 1, n chữ số 3 và 0)
\(=\dfrac{1}{3}\left[\left(1+10+...+10^{3n-1}\right)-3.\left(1+10+...+10^{n-1}\right).10^n\right]\)
\(=\dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{10^{3n}-1}{9}-3.\dfrac{10^n-1}{9}.10^n\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{9}\left[10^{3n}-1-3.\left(10^n-1\right).10^n\right]\)
\(=\dfrac{1}{27}\left[\left(10^n\right)^3-3.\left(10^{2n}-10^n\right)-1^3\right]\)
\(=\dfrac{1}{27}\left[\left(10^n\right)^3-3.10^{2n}+3.10^n-1^3\right]\)
\(=\dfrac{1}{27}\left[\left(10^n\right)^3-3.\left(10^n\right)^2.1+3.10^n.1^2-1^3\right]\)
\(=\dfrac{1}{27}.\left(10^n-1\right)^3\)
\(=\left(\dfrac{10^n-1}{3}\right)^3\)
-Vì \(10^n-1=\left(10-1\right)\left(1+10+...+10^{n-1}\right)\)\(⋮9\)
\(\Rightarrow\dfrac{10^n-1}{3}\)là một số tự nhiên.
-Vậy A là lập phương của 1 số tự nhiên.