Question

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y ta có: \(x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\le x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\)

Answer 1

Có:

\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\ge0\)

\(x\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-y\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)

\(\left(x-y\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)

\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)

\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\ge0\)  (luôn đúng)

Dấu = xảy ra khi x=y