Câu hỏi của Lê Phạm Hồng Thảo

Question

Chứng minh rằng với mọi số thực a , b tùy ý, ta có : a4 + b4  ≥  a3b + b3a

Vũ Minh DŨng · Accepted Answer

a4+b4 -a3b-b3a  >_ 0a3.(a-b) + b3.(b-a) >_ 0a3.(a+b)-b3 (a-b) >_0 ( đổi dấu )(a-b)(a3- b3)>_0(a-b)(a-b)(a2+ab+b2) >_0 (1)(a-b)2(a2+ab+b2) >_0         ta có a2+ab+b2 = a2+ab+1/4b2 +3/4b2 = (a+1/2b)2+3/4b2 lớn hơn hoặc =0mà (a-b)2 luôn >_ 0 nên (1) lớn hơn hoặc=0suy ra điều phải chứng minh. dấu = xảy ra khi a=b=0Câu trả lời: a4+b4 -a3b-b3a  >_ 0a3.(a-b) + b3.(b-a) >_ 0a3.(a+b)-b3 (a-b) >_0 ( đổi dấu )(a-b)(a3- b3)>_0(a-b)(a-b)(a2+ab+b2) >_0 (1)(a-b)2(a2+ab+b2) >_0         ta có a2+ab+b2 = a2+ab+1/4b2 +3/4b2 = (a+1/2b)2+3/4b2 lớn hơn hoặc =0mà (a-b)2 luôn >_ 0 nên (1) lớn hơn hoặc=0suy ra điều phải chứng minh. dấu = xảy ra khi a=b=0

Phạm Văn An · Answer

Xét hiệu: a4 + b4  - ( a3b + b3a)=    (a4 -a3b)   - (  b3a- b4) = a3(a-b) - b3(a-b) = (a-b)(a3 - b3) = (a-b)2(a2 + ab + b2)= (a-b)2((a + b/2)2 + 3b2/4) $\ge0$ với mọi a; b.Vậy a4 + b4  - ( a3b + b3a) $\ge0$Hay a4 + b4  $\ge$ a3b + b3a (ĐPCM)Câu trả lời: Xét hiệu: a4 + b4  - ( a3b + b3a)=    (a4 -a3b)   - (  b3a- b4) = a3(a-b) - b3(a-b) = (a-b)(a3 - b3) = (a-b)2(a2 + ab + b2)= (a-b)2((a + b/2)2 + 3b2/4) $\ge0$ với mọi a; b.Vậy a4 + b4  - ( a3b + b3a) $\ge0$Hay a4 + b4  $\ge$ a3b + b3a (ĐPCM)

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)