Question

chứng minh rằng với mọi số nguyên dương a, b, c ta luôn có:

1<a/a+b + b/b+c+ c/c+a<2

 

Answer 1

 \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)(ĐK: a , b ,c > 0)

Ta có: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)   (1)

Áp dụng BĐT: \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\) (ĐK: a,b,c thuộc N*).Ta thấy:

\(\left(a+b\right)< \frac{\left(a+b\right)}{a+b+c}\)

\(\left(b+c\right)< \frac{\left(b+a\right)}{a+b+c}\)

\(\left(c+a\right)< \frac{\left(c+b\right)}{a+b+c}\)

Cộng các vế lại. Ta có:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{\left(a+b\right)}{a+b+c}+\frac{\left(b+a\right)}{a+b+c}+\frac{\left(c+b\right)}{a+b+c}< \frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra ĐPCM