Question

Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.

 

Answer 1

Ta gọi phân số đó là \(\frac{a}{b}\) ,vì phân số dương\(\Rightarrow a.b=\)dương .

Ta chúng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a^2-ab-ab+b^2}{ab}+2=\frac{a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)+2}{ab}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+2\ge2\)

Vì :

\(\left(a-b\right)^2\ge0\) và \(ab>0\)

\(\Rightarrow\)Phân số không âm .

\(\Rightarrow\)Tổng không bé hơn 2