Xét 31 số
7
77
777
...
7777....7777
31 chữ số 7
Nếu có 1 trong 31 số chia hết cho 31 thì bài toán được chứng minh
Nếu ko có số nào chia hết cho 31 thì ta có:Mọi số tự nhiên ko chia hết cho 31 thì có 30 trường hợp dư là 1;2;3;4;...;30 có 30 trường hợp
Mà số 31 số nên theo nguyên lý Đi rích-lê thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 31
Gọi 2 số đó là:77777.....77777 77777............77777 \(\left(1\le n< m\le31\right)\)
n chữ số m chữ số
\(\Rightarrow777...7777-7777....777⋮31\)
m chữ số n chữ số
\(\Rightarrow777.....777.10^n⋮31\)
m-n chữ số
Mà (10^n,31)=1
\(\Rightarrow7777.....77777⋮31\)
m-n chứ số
Ró ràng m-n>0 vì m>n
Suy ra điều phải chứng minh