Question

Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là số chính phương

Answer 1

Đặt 4 số tự nhiên liên tiếp là: n-1;n;n+1;n+2( n>0)

Ta có:

\(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1=\left(n^2+n\right)\left(n^2+n-2\right)+1.\)

Gọi t = n²+n ta có:

\(t\left(t-2\right)+1=t^2-2t+1=\left(t-1\right)^2\)

                                                      \(=\left(n^2+n\right)^2\left(ĐPCM\right)\)

\(\text{Vậy ..........}\)

Answer 2

Gọi 4 stn liên tiếp là x;x+1;x+2;x+3 (x thuộc N)

Đặt A=\(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1=x\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)+1=\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)+1\)

Đặt x²+3x+1=t, ta có:

\(A=\left(t-1\right)\left(t+1\right)+1=t^2-1+1=t^2=\left(x^2+3x+1\right)^2\)

=>đpcm

Answer 3

Gọi tích của 4 số tự nhiên đó là A .  

Ta có :

\(A+1=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n+1\right)^2\)

Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp là 1 số chính phương (đpcm)