Ta có công thức: \(1+2+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp: \(1^3+2^3+...+n^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\)(1)
Có: \(1^3=1=\left(\frac{1.2}{2}\right)^2\)do đó (1) đúng với \(n=1\).
Giả sử (1) đúng với \(n=k\),
Ta sẽ chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\).
Ta có: \(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right)^2+\left(k+1\right)^3\)
\(=\left(k+1\right)^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right)=\left(k+1\right)^2\left(\frac{k^2+4k+4}{4}\right)=\left(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right)^2\)
do đó (1) đúng với \(n=k+1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học ta có đpcm.