Câu hỏi của Uchiha Sasuke

Question

Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì$\sqrt{a}$là số vô tỉ

Phantom Sage · Accepted Answer

Giả sử $\sqrt{a}$là 1 số hữu tỉ thì $\sqrt{a}=\frac{m}{n}$( với m , n = 1 )Khi đó $a^2=\frac{m^2}{n^2}$Vì a là số tự nhiên nên m2 chia hết cho n2hay m chia hết cho n ( ngược với đk m,n = 1 )=> ĐPCMCâu trả lời: Giả sử $\sqrt{a}$là 1 số hữu tỉ thì $\sqrt{a}=\frac{m}{n}$( với m , n = 1 )Khi đó $a^2=\frac{m^2}{n^2}$Vì a là số tự nhiên nên m2 chia hết cho n2hay m chia hết cho n ( ngược với đk m,n = 1 )=> ĐPCM

Gukmin · Answer

Trả lời:+ Giả sử $\sqrt{a}\notin I$$\Rightarrow\sqrt{a}\inℚ$$\Rightarrow a=\frac{m}{n}$với$\left(m,n\right)=1;m,n\inℕ$+ Vì a không là số chính phương$\Rightarrow\sqrt{a}\notinℕ$$\Rightarrow\frac{m}{n}\notinℕ$$\Rightarrow n>1$+ Vì $\sqrt{a}=\frac{m}{n}$$\Rightarrow a=\frac{m^2}{n^2}$$\Rightarrow m^2=an^2$+ Vì $n>1$$\Rightarrow$Giả sử n có ước nguyên tố là pMà$n\inℕ$Mà$m^2=an^2$$\Rightarrow m⋮p$$\Rightarrow$m,n có ƯC là p (Trái với giả thiết (m,n) = 1)$\Rightarrow$Giả sử $\sqrt{a}\notin I$sai$\Rightarrow\sqrt{a}\in I$Vậy nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì$\sqrt{a}$là số vô tỉ.Hok tốt!Good girlCâu trả lời: Trả lời:+ Giả sử $\sqrt{a}\notin I$$\Rightarrow\sqrt{a}\inℚ$$\Rightarrow a=\frac{m}{n}$với$\left(m,n\right)=1;m,n\inℕ$+ Vì a không là số chính phương$\Rightarrow\sqrt{a}\notinℕ$$\Rightarrow\frac{m}{n}\notinℕ$$\Rightarrow n>1$+ Vì $\sqrt{a}=\frac{m}{n}$$\Rightarrow a=\frac{m^2}{n^2}$$\Rightarrow m^2=an^2$+ Vì $n>1$$\Rightarrow$Giả sử n có ước nguyên tố là pMà$n\inℕ$Mà$m^2=an^2$$\Rightarrow m⋮p$$\Rightarrow$m,n có ƯC là p (Trái với giả thiết (m,n) = 1)$\Rightarrow$Giả sử $\sqrt{a}\notin I$sai$\Rightarrow\sqrt{a}\in I$Vậy nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì$\sqrt{a}$là số vô tỉ.Hok tốt!Good girl

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)