Ta có:$\Delta =b^{2}-4ac$
Xét $\Delta \geq 0$
Giả sử pt đó có nghiệm hữu tỉ nên $\Delta =x^{2}$
Suy ra $(b+x)(b-x)=4ac$
Vì b,x cùng tính chẵn lẽ nên b+x chẵn;b-x chẵn
Ta xét các TH sau:
$\left\{\begin{matrix} b+x=a\\b-x=4c \end{matrix}\right.$
Mà $b+x\geq b-x\Rightarrow a\geq 4c$ nên c=1 (vì c lẻ )
Thay c=1 vào ta đc: $\left\{\begin{matrix} b=\frac{a}{2}+2\\ x=\frac{a}{2}-2 \end{matrix}\right.$
Thế vào ta tìm đc a=0(vô lý)
Xét $\left\{\begin{matrix} b+x=2ac\\b-x=2 \end{matrix}\right.$
Tương tự ta cũng có: $2ac\geq 2\Rightarrow ac\geq 1\Rightarrow a=1;c=1$
Tính được b=2 khi đó $\overline{abc}=121=11^{2}$ ko phải là số nguyên tố
Xét $\left\{\begin{matrix} b+x=2a\\b-x=2c \end{matrix}\right.$
Ta chứng minh đc a>c
Suy ra b=a+c
Khi đó $\overline{abc}=110a+11c\vdots 11$ ko phải là số nguyên tố.
Vậy điều giả sử sai nên ta có đpcm