Lời giải:
PT đã cho có hai nghiệm khi mà \(\Delta=b^2-4ac>0\)
Theo điều kiện đề bài ta có:
\(\Delta=b^2-4ac=\left (\frac{-6c-5a}{4}\right)^2-4ac=\frac{(5a+6c)^2-64ac}{16}\)
\(\Leftrightarrow \Delta=\frac{25a^2+36c^2-4ac}{16}=\frac{24a^2+(a-2c)^2+32c^2}{16}\)
Vì \(a\neq 0\Rightarrow 24a^2+(a-c)^2+32c^2>0\Rightarrow \Delta>0\)
Do đó PT trên có hai nghiệm phân biệt.
\(f\left(x\right)=\text{ax}^2+bx+c\)
Nếu a=0 thì ta có: \(4b+6c=0\) hay \(c=\dfrac{-2}{3}b\). Phương trình có dạng
\(bx-\dfrac{2}{3}b=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\) là 1 nghiệm
Xét \(a\ne0\). Khi đó
\(5a+4b+6c=0\Leftrightarrow\left(4a+2b+c\right)+\left(a+2b+4c\right)+c=0\)
\(f\left(2\right)+\dfrac{1}{4}f\left(\dfrac{1}{2}\right)+f\left(0\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\text{af}\left(2\right)+\dfrac{1}{4}\text{af}\left(\dfrac{1}{2}\right)+\text{af}\left(0\right)=0\)
=> Tồn tại ít nhất 1 số hạng âm hoặc bằng 0, theo định lý đảo suy ra phương trình có nghiệm