Do a, a + k, a + 2k đều là nguyên tố lớn hơn 3 nên đều là số lẻ và không chia hết cho 3.
• Vì a và a + k cùng lẻ nên a + k - a = k ⋮ 2. (1)
• Vì a, a + k, a + 2k đều không chia hết cho 3 nên khi chia cho 3 ít nhất hai số có cùng số dư, khi đó:
+ Nếu a và a + k có cùng số dư, thì suy ra: (a+k) - a = k ⋮ 3
+ Nếu a + k và a + 2k có cùng số dư, thì suy ra: (a+2k )- (a+k)= k ⋮ 3+ Nếu a và a + 2k có cùng số dư, thì suy ra:
( a + 2k ) - a = 2k 3 nhưng (2,3) = 1 nên k 3
Vậy, ta luôn có k chia hết cho 3 (2)
Từ (1),(2) và do (2,3)=1 ta suy ra k ⋮ 6, đpcm.
Nhận xét: Trong lời giải trên, ta đã định hướng được rằng để chứng minh k ⋮ 6 thì cần chứng minh k ⋮ 2 và k ⋮ 3 và ở đó:
• Việc chứng minh k ⋮ 2 được đánh giá thông qua nhận định a, a + k,a + 2k đều là nguyên tố lẻ hơn kém nhau k đơn vị.
• Việc chứng minh k ⋮ 3 được đánh giá thông qua nhận định “ba số lẻ không chia hết cho 3 thì có ít nhất hai số có cùng số dư” và như vậy hiệu của hai số đó sẽ chia hết cho 3.
Bạn cao minh tâm ghi là "2k 3" và "k 3" có nghĩa là gì