Question

Chứng minh rằng nếu \(a+b+c=0\) ta luôn có:

a) \(a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

b) \(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)\)

c) \(a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2.\)

Answer 1

a + b + c = 0 => (a + b + c)² = 0 => a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca)     (1)

=> (a² + b² + c²)² = 4(ab + bc + ca)² (2) => a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² = 4(a²b² + b²c² + c²a² + 2(ab²c + abc² + a²bc)).

=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2a⁴b² + 2b²c² + 2c²a² + 8abc(a + b + c)

a)  => a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2(a⁴b² + b²c² + c²a²⁾     (ĐPCM - a)

b) Từ (1) =>  2(ab + bc + ca) = -(a² + b² + c² )

=> 4(ab + bc + ca)² = (a² + b² + c² )² = a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²b² + 2b²c² + 2c²a^2.

Thay từ (a) 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² = a⁴ + b⁴ + c⁴ 

=>  4(ab + bc + ca)² = 2(a⁴ + b⁴ + c⁴)

Hay a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2(ab + bc + ca)²     (ĐPCM - b)

c) Từ (2)  (a² + b² + c²)² = 4(ab + bc + ca)² = 4(a²b² + b²c² + c²a² + 2(ab²c + abc² + a²bc)) = 4(a⁴b² + b²c² + c²a²)+ 8abc(a + b + c)

=> (a² + b² + c²)² = 4(a⁴b² + b²c² + c²a²) = 2(a⁴ + b⁴ + c⁴) (Từ a)

Hay a⁴ + b⁴ + c⁴ = 1/2 * (a² + b² + c²)²     (ĐPCM - c).

Answer 2

Em mới học lướp 7