Question

Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì a² + b² ≥ 1/2

Answer 1

Áp dụng bđt Bunhiakovxki 

\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Answer 2

Ta có: a + b = 1 ⇔ b = 1 – a

Thay vào bất đẳng thức a² + b² ≥ 1/2 , ta được:

a² + (1 – a)² ≥ 1/2 ⇔ a² + 1 – 2a + a² ≥ 1/2

⇔ 2a² – 2a + 1 ≥ 1/2 ⇔ 4a² – 4a + 2 ≥ 1

⇔ 4a² – 4a + 1 ≥ 0 ⇔ (2a – 1)² ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Answer 3

Ta có a+b=1

=> theo BĐT Cô si ta có 

a+b\(\ge\)\(2\sqrt{ab}\) dấu = khi a=b

=> \(1\ge2\sqrt{ab}\)

<=> \(\sqrt{ab}\le\frac{1}{2}\)    <=> \(ab\le\frac{1}{4}\)

khi đó a+b=1

=> (a+b)²=1

<=> \(a^2+b^2+2ab=1\)

<=>\(a^2+b^2=1-2ab\ge1-2\times\frac{1}{4}\)\(\ge1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)( đpcm)

dấu = khi a=b=1/2

Answer 4

@Lê Tuấn Nghĩa đề có cho a, b dương đâu mà áp dụng Cô si ?

Answer 5

Em có cách này nhưng không chắc:(

Ta luôn có: \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\Rightarrow a^2-a+\frac{1}{4}\ge0\Rightarrow a^2\ge a-\frac{1}{4}\)

Tương tự với b: \(b^2\ge b-\frac{1}{4}\).Cộng theo vế hai BĐT trên ta được:

\(a^2+b^2\ge\left(a+b\right)-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(Q.E.D\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)