Question

Chứng minh rằng :(n⁵ — 5n³ + 4n) chia hết cho 120

Answer 1

A = n^5 - 5n^3 + 4n = (n.n^4 - 5n^2 + 4)

= n.(n^4 - 4n^2 - n^2 + 4)

= n. [n^2.(n^2 - 1) - 4.(n^2 - 1)

= n.(n^2) . (n^2 - 4)

= n.(n - 1) . (n + 1) . (n + 2)

=> A chia hết cho 120

Answer 2

Ta có \(n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)

Ta có n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp => nó chia hết cho 5 và chia hết cho 3

mặt khác, sẽ tồn tại 2 số chăn liên tiép, 1 số chia hết cho 2 và số còn lại chia hết cho 4 => tích chia hết cho 8 

mà 3,5,8 có ước chung lớn nhất =1 => n(n-1 )(n-2)(n+2) chia hết cho 120 (ĐPCM)