Ta xét hai khả năng:
a. Nếu \(n⋮3\)thì rõ ràng \(\left(n^3+2n\right)⋮3.\)
b. Nếu n không chia hết cho 3 thì n có dạng n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 với k \(\in N\).
*Với \(\text{n = 3k+ 1:}\left(n^3+2n\right)=\left(3k+1\right)^3+2\left(3k+1\right).\)
\(=27k^3+27k^2+9k+1+6k+2=3\left(9k^3+9k^2+5k+1\right)⋮3.\)
*Với \(n=3k+2:n^3+2n=\left(3k+2\right)^3+2\left(3k+2\right).\)
\(=27k^3+54k^2+36k+8+6k+4=3\left(9k^3+18k^2+14k+4\right)⋮3.\)
Mệnh đề được chứng minh.
P/s: không chắc lắm:)
TA Thấy:
\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Vì \(n^3-n\)là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên \(\left(n^3-n\right)⋮3\)
Mà \(3n⋮3\)
do đó \(\left(n^3-n+3n\right)⋮3\)
Hay \(n^3+2n⋮3\left(ĐPCM\right)\)
Chứng minh bằng quy nặp toán học:
1. \(n=1\Rightarrow n^3+2n=1+2.1=3\), vậy mệnh đề đúng với n = 1.
2. Giả sử mệnh đề đúng với k, nghĩa là ta có: \(\left(k^3+2k\right)⋮3\)
Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, nghĩa là phải chứng minh:
\([\left(k+1\right)^3+2\left(k+1\right)]⋮3.\)
Ta có: \(\left(k+1\right)^3+2\left(k+1\right)=k^3+3k^2+3k+1+2k+2\)
\(=\left(k^3+2k\right)+3\left(k^2+k+1\right),k\in N.\)
Nhưng \(\left(k^3+2k\right)⋮3\)(theo giả thiết quy nạp); \(3\left(k^2+k+1\right)⋮3\)
Vậy \(\left(k+1\right)^3+2\left(k+1\right)]⋮3.\)Vậy mệnh đề trên đúng với mọi \(n\in N.\)