Question

Chứng minh rằng: \(\left(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n\right)\)chia hết cho 30 ( với mọi n thuộc N*)

Answer 1

Có:\(\left(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n\right)=\left(3^n.3^2-2^n.2^{^4}+3^n+2^n\right)=3^n\left(3^2+1\right)-2^n.\left(2^4-1\right)=3^n.10-2^n.15\)Vì 30 chia hết cho 10 nên \(3^n.10\) cũng chia hết cho 10      

Vì 30 chia hết cho 15 nên \(2^n.15\) cũng chia hết cho 15      

Từ 2 điều nêu trên ta suy ra:  \(\left(3^n.10-2^n.30\right)\)  chia hết cho 30

Vậy: \(\left(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n\right)\)chia hết cho 30 (ĐPCM)