ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaafffffffffffffffffffffffffffffffffff
fffffffffffffffffffffffffffffff
faaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooossssssssssssssssssssssssssssssssssssssss
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
giả sử cho hai số hữu tỉ bất kì x và y (x,y thuộc Q,x<y)
vì mọi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng phân số có mẫu dương nên ta đặt
x=a/m y=b/m (a,b,m thuộc Z , m>0)
vì x<y=>a/m<b/m
mà m>0 } =>a<b
ta chọn z=a+b/2m
vì a<b=>a+a<a+b
=>2a<a+b
mà m>0=>2m>0 }=>2a/2m<a+b/2m
=>a/m<a+b/2m
=>x<z (1)
vì a<b=>a+b<b+b
=>a+b<2b
mà m>0=>2m>0 }=>a+b/2m<2b/2m
=>a+b/2m<b/m
=>z<y (2
từ (1) và (2) =>x<z<y
vậy giữa hai số hữu tỉ bất kì x và y luôn tồn tại một số hữu tỉ z (dpcm)